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曲げ応力とは何のこと?断面係数を使った計算方法・実際の事例のシミュレーションを使って解説

【更新日】2021-01-28
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曲げ応力

曲げ応力という言葉を、新築を建てる際に耳にすることがあるかも知れません。

構造力学の分野で用いられる曲げ応力はその材料の曲げに対する力を表す際に必要となってくる考え方です。

日常生活の中で遭遇することが多い曲げ応力ですが、実際に計算するとなると少し複雑で理解するのに時間がかかるかと思います。

この記事では、曲げ応力の概念や計算式、練習問題などを通じて曲げ応力の理解を深めることができます。

曲げ応力について知りたいという人は、この記事の参考に曲げ応力について学習していきましょう。

曲げ応力とは?

それではまず曲げ応力の概念について解説します。

曲げ応力とは荷重が発生することによって起こる曲げモーメントのことを言います。

この曲げモーメントは圧縮応力と引張応力の総和によって求めることができます。

曲がっているものは全てこの曲げ応力が発生していますが、中でも思い浮かべやすいものとして家に使用されている梁の部分が挙げられます。

この梁は見た目では曲がっていません、なぜならこの曲げ応力を考慮して設計されているからです。

二階部分の重さと梁自体の曲げが考えられていて、梁が曲がって家が倒壊するようなことがなくなっています。

垂直応力との違い

曲げ応力と垂直応力の違いは何でしょうか?

まず垂直応力は垂直方向に働く力のことで、曲げ応力と同様に引張応力と圧縮応力に分けられます。

この定義だけ聞くとほとんど同じ力なのではないかと勘違いしてしまうかもしれませんが、曲げ応力と垂直応力は計算の前提が全く異なります。

垂直応力の計算の際に用いられていた計算方法では、曲げ応力を求めることができないのです。

ここで垂直応力を計算する際に用いていた前提条件について確認しておきましょう。

垂直応力を計算する時の前提条件
  • 材料が同じ性質を持っている
  • その材料が等方性材料である
  • その材料が連続体である
  • 仮想する断面上に生じる内力は同様である
  • 断面積変化を無視する

以上が垂直応力の計算方法ですが、曲げ応力の計算では④番目の仮装する断面上に生じる内力が同様であるという前提が適用されません。

そのため、垂直応力を同じ方法で計算し数値を求めることはできないのです。

せん断応力との違い

ここでせん断応力についても見ておきましょう。

せん断応力はものをずらすような力がものの内側に発生することです。

イメージしやすいのは、スポンジです。

まずスポンジに上辺と底辺にそれぞれ逆の方向へ力を加えます。

そうするとスポンジがずれるように変形します。

これはせん断応力が働いている証拠です。

このように曲げ応力とは少し違う力であることが分かるかと思います。

垂直応力を計算する時の前提条件
  • 材料が同じ性質を持っている
  • その材料が等方性材料である
  • その材料が連続体である
  • 仮想する断面上に生じる内力は同様である
  • 断面積変化を無視する

曲げ応力と曲げ応力度の違い

曲げ応力についての理解はできたでしょうか?

次に曲げ応力と曲げ応力度の違いについて解説します。

名前は似ていますが、この機会にその違いについてもしっかりと理解しておきましょう。

そもそも応力度とは単位面積あたりに発生する応力のことを表します。

つまり曲げ応力度は単位面積あたりに発生する曲げ応力度と定義できます。

以下が曲げ応力と曲げ応力度の違いです。

曲げ応力と曲げ応力度の違い
  • 曲げ応力:荷重が発生することによって起こる曲げモーメント
  • 曲げ応力度:曲げモーメントから断面係数を除いた場合に求められる数値

このように名前は似ていますが、意味していることは違います。

その違いについてしっかりと理解しておきましょう。

曲げ応力を求める計算式

ここからは曲げ応力の計算式について見ていきましょう。

以下が曲げ応力の計算式です。

σ=M / Z

σが曲げ応力のことで、Mが曲げモーメント、Zが断面係数のことを表しています。

断面係数とはその材料が持っている曲げモーメントに対する強度を意味しています。

長方形の断面係数はZ=bh^2/6であるため、長方形の曲げ応力を求める際にはこの数値を当てはめてみてください。

曲げ応力を実際の事例から計算シミュレーション

曲げ応力を求める計算式を解説したところで、より曲げ応力に関する理解を深めていきます。

実際に曲げ応力を使うケースを想定して、曲げ応力を求めてみましょう。

曲げ応力を実際に使用するケースとして挙げられるのは、建築現場です。

建築現場で実際に起こりうるケースに基づき、両端支持梁・片持ち梁・単純梁の場合の計算をしていきましょう。

ケース➀両端支持梁の場合

端支持梁とはその名の通り、両端が固定された状態の梁のことを指します。

それでは1階と2階の間に梁が設置されていると仮定します。

この場合における中心部分と両端部分の曲げ応力を求めていきましょう。

前提条件は以下の通りです。

W=10.0kN/m、L=10.0m、梁幅b=300、梁せい=500

  1. 【曲げモーメント】 ㋐中央の曲げモーメント M=wL^2/24 =10.0×10.0^2/24 =41.7kNm ㋑両端の曲げモーメント M=wL^2/12 =10.0×10.0^2/12 =83.3kNm
  2. 【断面係数】 Z=bh^2/6 =300×500^2/6  =12500000mm^3
  3. 【曲げ応力】 ㋐中央の曲げ応力 σ=M / Z =41.7×10^6/12500000 =3.34N/mm^2 ㋑両端の曲げ応力 σ=M / Z =83.3×10^6/12500000 =6.66N/mm^2

両端支持梁の曲げ応力に関しては以上のようにして求めることができます。

ケース②片持ち梁の場合

続いて片持ち梁の場合の曲げ応力について調べていきましょう。

片持ち梁はベランダや軒に利用されています。

今回はそのような場合を想定しながら曲げ応力について調べていきましょう

※前提条件:W=10.0kN/m、L=2.0m、梁幅b=300、梁せい=500

  1. 【曲げモーメント】 ㋐中央の曲げモーメント M=wL^2/2 =10.0×2^2/2 =20kNm
  2. 【断面係数】 Z=bh^2/6 =300×500^2/6 =12500000mm^3
  3. 【曲げ応力】 σ=20×10^6/12500000 =1.6N/mm^2

片持ち梁に関しては以上のように曲げ応力を求めることができます。

ケース③単純梁の場合

最後に単純梁の場合の曲げ応力の求め方について解説します。

単純梁は簡単に言うと橋のように梁を置いただけという状態の梁です。

それでは単純梁の場合の曲げ応力の求め方について解説します。

※前提条件:W=10.0kN/m、L=20.0m、梁幅b=300、梁せい=500

  1. 【曲げモーメント】 M=wL^2/8 =10.0×20.0^2/8 =500kNm
  2. 【断面係数】 Z=bh^2/6 =300×500^2/6 =12500000
  3. 【曲げ応力】 σ=500×10^6/12500000 =40N/mm^2

単純梁に関しては以上のように曲げ応力を求めることができます。

応力・応力度に用いられる単位

曲げ応力の計算方法を理解したところで、続いて応力に用いられる単位について確認しましょう。

応力の単位はその種類が変われば、用いられる単位も変わってきます。

単位をしっかりと理解しておかなければ、計算の際に誤った答えを導くことになるかもしれません。

以下で応力別の単位について見ていきましょう。

  • 圧縮応力・引張応力・せん断力:N、kN
  • 曲げモーメント:kNm、Nmm

次に応力度の単位です。

応力度に関しては応力度の種類が違っていても、単位は統一されています。

以下が応力度の単位です。

引張応力度・圧縮応力度・曲げ応力度・せん断力応力度:N/mm^2(mpa)、kN/m^2

応力・応力度の単位換算方法

応力の単位について理解したところで、ここからは応力の単位換算の方法について解説しましょう。

1N=0.001kNであり、1kNは1000Nと変換することができます。

また1Nmm=0.000001kNmであるため、1kNmは1000000Nmmであることが分かりますね。

このように単位換算を行うことができるため、実践で使ってみてください。

続いて、応力度の単位換算方法です。

1N/mm^2=1/10^-9kN/m^2であるので、1kN/m^2は10^9N/mm^2であることが分かるかと思います。

また1N/mm^2は1mpaのため、単位換算することがなく安心ですね。

曲げ応力について理解して建築の現場で活かそう

曲げ応力についての理解は深められたでしょうか?

なかなか難しい計算式で、完璧に理解することは難しいかと思います。

そのような時は、実践あるのみということで計算問題や実際の現場で用いてみましょう。

また曲げ応力の理解に苦しんだ際には、この記事を参考にしてみてください。

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